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Which numbers satisfy the Collatz Conjecture before "falling" into cycle 3?
This is my answer: That ALL numbers in the set of the inverse of the Collatz Conjecture satisfy it. And which "inverse of the Conjecture" am I talking about? Not from the one already studied, but from the "tree" formed by the sets of series formed by the probabilities that modify the flow inverse to Collatz, and which will define the universe of possible solutions.
The completeness of a piece of evidence, when based exclusively on accumulated knowledge about a phenomenon, is a complex and multifaceted concept. There is no single formula for determining completeness, but rather a set of criteria and considerations that can be used to assess the degree of comprehensiveness and robustness of the evidence.
The ability to make accurate predictions is a strong indicator of the validity and completeness of the evidence.
[When any positive integer is selected to submit to the conjecture, A "Draw" HAS ALREADY BEEN MADE in the direct mode, whose correspondent is the random function H in the inverse mode.]
For a function to have an inverse, it needs to be bijective, that is, injective (each input leads to a unique output) and surjective (all outputs are reached).
Consider three sets:
A: Set of positive integers (≥ 1). This would be the input set of values offered for the Collatz function or modular system.
B: Unitary set containing only the number 1. This would be the pattern 1 to which the Collatz Conjecture converges and from which its inverse diverges.
C: Set of positive integers (≥ 1), symmetric to A and with the same number of elements. This would be the output set generated by the inverse of the Collatz Conjecture.
All three sets are composed of positive integers, equal to or greater than 1.
Set A is symmetric in relation to set C. Both sets A and C have the same number of elements.
Set B has a single numerical element: the number 1.
Sets A and C, with all their possible elements, are related to set B.
Sets A and C are not related to each other.
Relations:
A to B: Since B has only one element, all elements of A are related to the number 1 in B. This relation is surjective, since every element of B is an image of at least one element of A. However, it is neither injective (several elements of A are related to the same element in B) nor bijective (it is not injective).
C to B: Similar to the relation A to B, all elements of C are related to the number 1 in B. This relation is also surjective, but neither injective nor bijective.
A and C: The sets A and C are symmetric and have the same number of elements. This means that there is a one-to-one correspondence between their elements. This relation is bijective, that is, it is both injective and surjective. Each element of A is related to a single element of C, and vice versa.
Summary:
In terms of cardinality, this means that A and C are bijective (equipotent), that is, there is a one-to-one correspondence between the elements of A and the elements of C, even if this correspondence is not “defined” in the proposed relation scheme.
The relations A → B and C → B are surjective (not injective).
Between A and C, although there is no direct functional relation, they are equipotent, that is, they have a bijective relation in terms of cardinality.
A → B: Surjective relation.
C → B: Surjective relation.
A ↔ C: Bijective relation.
Happy reading.
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Quais números satisfazem a Conjectura de Collatz antes de "cairem" no ciclo 3?
Esta é minha resposta: Que TODOS os números no conjunto do inverso da Conjectura de Collatz a satisfazem. E de qual "inverso da Conjectura" estou falando? Não daquele já estudado, mas da "arvore" formada pelos conjuntos de series formadas pelas probabilidades que modificam o fluxo inverso ao Collatz, e que definirão o universo de soluções possíveis.
A completude de uma prova, quando baseada exclusivamente no conhecimento acumulado sobre um fenômeno, é um conceito complexo e multifacetado. Não existe uma fórmula única para determinar a completude, mas sim um conjunto de critérios e considerações que podem ser utilizados para avaliar o grau de abrangência e robustez da prova.
A capacidade de fazer previsões precisas é um forte indicador da validade e completude da prova.
[Quando se seleciona qualquer número inteiro positivo para submeter à conjectura, JÁ SE FEZ UM "Sorteio" no modo direto, cujo correspondente é a função aleatória H no modo inverso. Estes "sorteios" continuam pelos passos seguintes, que recursivamente se tornam mais dependentes dos passos anteriores, onde uma pequena alteração nim único passo leva todo o sistema só caos, qual um "efeito borboleta" como nos sistemas caóticos. Pode-se modelar a Conjectura como um processo estocástico, onde a paridade de cada termo é uma variável aleatória. Então, a sequência de Collatz pode ser considerada como um sistema dinâmico discreto, devido a imprevisibilidade da paridade.]
Para que uma função tenha inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora (cada entrada leva a uma saída única) e sobrejetora (todas as saídas são alcançadas).
Considerem três conjuntos:
A: Conjunto de números inteiros positivos (≥ 1). Seria o conjunto de entrada dos valores oferecidos para a função ou sistema modular de Collatz.
B: Conjunto unitário contendo apenas o número 1. Seria o padrão 1 ao qual converge a Conjectura de Collatz e do qual diverge sua inversa.
C: Conjunto de números inteiros positivos (≥ 1), simétrico a A e com a mesma quantidade de elementos. Seria o conjunto de saída gerado pela inversa da Conjectura de Collatz.
Todos os três conjuntos são compostos por números inteiros positivos, iguais ou maiores que 1.
O conjunto A é simétrico em relação ao conjunto C. Tanto o conjunto A quanto o conjunto C, tem a mesma quantidade de elementos.
O conjunto B tem um único elemento numérico: o número 1.
Os conjuntos A e C, com todos os seus possíveis elementos, se relacionam com o conjunto B.
Os conjuntos A e C não se relacionam entre si.
Relações:
A para B: Como B tem apenas um elemento, todos os elementos de A se relacionam com o número 1 em B. Essa relação é sobrejetora, pois todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. No entanto, não é injetora (vários elementos de A se relacionam com o mesmo elemento em B) nem bijetora (não é injetora).
C para B: Semelhante à relação A para B, todos os elementos de C se relacionam com o número 1 em B. Essa relação também é sobrejetora, mas não injetora nem bijetora.
A e C: Os conjuntos A e C são simétricos e têm a mesma quantidade de elementos. Isso significa que existe uma correspondência biunívoca entre seus elementos. Essa relação é bijetora, ou seja, é tanto injetora quanto sobrejetora. Cada elemento de A se relaciona com um único elemento de C, e vice-versa.
Resumo:
A → B: Relação sobrejetora.
C → B: Relação sobrejetora.
A ↔ C: Relação bijetora.
A: Conjunto dos números inteiros positivos (≥ 1) que servem como entradas na forma direta da Conjectura de Collatz (sequência decrescente que termina em 1).
B: Conjunto unitário que contém apenas o número 1. Ele é o ponto de chegada na conjectura direta e o ponto de partida na inversa.
C: Conjunto de valores de saída da forma inversa da Conjectura de Collatz (sequência crescente a partir de 1). Ou seja, os números que levam ao 1 quando aplicamos a função inversa da conjectura.
Em termos de cardinalidade, isso significa que A e C são bijetivos (equipotentes), isto é, existe uma correspondência um a um entre os elementos de A e os elementos de C, mesmo que essa correspondência não esteja “definida” no esquema de relações proposto.
As relações de A → B e de C → B são sobrejetoras (não injetoras).
Entre A e C, embora não haja uma relação funcional direta, eles são equipotentes, ou seja, possuem uma relação bijetora em termos de cardinalidade. Não há relação direta entre A e C funcionalmente, mas há equivalência de cardinalidade (correspondência um a um).
E estará correto se afirmar que a solução da Conjectura de Collatz é o conjunto C, e que sua inversa tem como solução o conjunto A, se e somente se, ambas estiverem correlacionadas e encadeadas com o conjunto B.
A Conjectura de Collatz afirma que todo número natural positivo ≥ 1 eventualmente leva a 1 por meio da função de Collatz. Isso está modelado como A → B. Portanto, a "solução" da conjectura direta é que todo elemento de A mapeia para B.
A inversa da Conjectura de Collatz parte de 1 e tenta reconstruir todos os caminhos possíveis, chegando aos elementos de C. Assim, o conjunto C representa os números que podem ser gerados pela inversa.
A solução da conjectura é o conjunto C, pois pode ser entendida como se o conjunto C contiver todos os inteiros positivos ≥ 1, e então a inversa da conjectura seria válida para todos esses números, e por equipotência com A, isso validaria a conjectura de forma total.
É fundamental que, se somente se, ambas as soluções estiverem correlacionadas e encadeadas com o conjunto B, pois porque o 1 (conjunto B) é o elo comum entre A e C: é o destino da sequência direta e o ponto de partida da sequência inversa.
Dizer que A e C são as soluções da forma direta e inversa da conjectura condicionadas ao vínculo com B (o número 1) é uma formulação válida, elegante e condizente com a lógica da conjectura. A validade da conjectura depende de que todas as sequências iniciadas em A terminem em B, e de que todas as possíveis sequências de C partam de B e reconstruam todos os caminhos. A bijetividade entre A e C sugere que essas soluções são simétricas e completas.
Vide no manuscrito abaixo a demonstração formal desta tese:
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Conjectura de Collatz: uma forma de se encontrar todos os possíveis valores para uma questão de 1937.
Eis a questão: existe algum número que não satisfaça a Conjectura?
E qual seria a resposta?
Uma abordagem utilizando a teoria dos conjuntos, como enfatizado nas linhas anteriores, no texto introdutório.
Todos os números do conjunto gerado pelo inverso da Conjectura.
E o que seria o" inverso da Conjectura"?
Bom, só lendo abaixo para descobrir.
Boa leitura.
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Collatz Conjecture
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Este sistema é conhecido como a Conjectura de Collatz, também chamada de problema 3x+1.
Ele é definido pelas seguintes regras:
Se x for par: Divida x por 2 ou (x / 2).
Se x for ímpar: Multiplique x por 3 e adicione 1 ou (3x + 1).
O objetivo é começar com qualquer número inteiro positivo (x >= 1) e aplicar repetidamente essas regras. A conjectura afirma que, independentemente do número inicial, a sequência sempre terminará em 1.
Ninguém conseguiu provar ou refutar se todas as sequências terminam em 1.
A Conjectura de Collatz significa demonstrar que, iniciando o processo com qualquer número natural, não importando o seu tamanho, ele acabará no ciclo "3": 4, 2, 1.
Está é a premissa que desafia o raciocínio.
Porém, se ao invés de "testar" números e mais números individualmente, para averiguar se cada um atende ou não as regras da conjectura, fizessemos o contrário: postular um outro método que nos forneça todos os possíveis números ou sequências, a partir de 1, que atendam às regras definidas por Collatz?
Pois bem. Foi isso que eu fiz.
Inverti a lógica e CRIEI um sistema em que, se partindo de 1, gera-se sequências ao infinito, que se lidas do fim para a origem 1 (de forma inversa à sequência dos termos), se enquadram na conjectura de Collatz. Daí se conclui que estas sequências, com todos os seus elementos, nos dirão se existem ou não números que não atendem à conjectura.
O algoritmo abaixo manuscrito demonstra como funcionará a lógica do raciocínio acima descrito:
Exemplo do comportamento da conjectura Collatz:
Abaixo, se vê na árvore numérica que existe também, uma escolha aleatória entre um número par ou um ímpar,
antes mesmo do inicio da aplicação das regras da Conjectura, e que mesmo nos passos seguintes, está aleatoriedade permanece.
O conjunto de entradas de números inteiros positivos para a Conjectura de Collatz, escolhidas um a um,
seguem um padrão de "não determinismo" ou de escolha aleatória entre pares ou ímpares, e que as operações seguintes definidas na conjectura são, também, uma aleatoriedade que dependerá do resultado recursivo fornecido pelo passo anterior, ou uma aleatoriedade dependente do estado, que tanto pode ser um número par ou um número ímpar, não se podendo, dentro do fluxo decrescente da Conjectura, em qual passo ocorrerá a aparição de um par ou um ímpar, antes de alcançar o número final: 1.
Prova por Contradição:(ou prova por absurdo)
Assumo que a conjectura é falsa e, em seguida, mostro que essa suposição leva a uma contradição lógica.
Ao assumir a negação da afirmação, eu estou, de certa forma, "invertendo" a direção da análise.
Vejam no exemplo abaixo o fluxo do algoritmo no sentido inverso da conjectura de Collatz:
resultado =
se (x \mod 2 != 0) então x senão
se ((x - 1) \mod 3 != 0) então 2 * x senão
se ( sort x != 1 or x != 2) então 2 * x
senão (x - 1) / 3
Obs.: a imprevisibilidade está presente no sentido inverso, pois neste sentido todas as possibilidades que atendem Collatz formam um mesmo conjunto.
O objetivo é verificar se essa "inversão" leva a um comportamento inconsistente, demonstrando assim a validade da afirmação original.
Embora outros métodos de prova existam, a prova por contradição é a que mais se aproxima da minha ideia de "inverter" uma expressão para análise.
A prova da conjectura de Collatz é um problema matemático em aberto, o que significa que ainda não foi encontrada uma prova formalmente rigorosa.
Acredito que a prova do absurdo é apenas uma das possíveis abordagens para tentar resolver esse problema.
Para tal, necessito formalizar algumas definições antes de "montar" o sistema.
Definição Formal das Funções e Conjuntos:
Função V:
Seja V(x) uma função que gera um conjunto ordenado {v1,v2,...,vn} a partir de um valor inicial x, aplicando as seguintes regras sequencialmente até o infinito:
V={ se x mod 2 != 0 então 2*x,
senão se (x-1) mod 3 != 0 então 2*x, senão se f(h) = ( r E { 1, 2 } ) != 2 então 2*x,
senão ( x - 1 ) / 3 }
A função V gera um conjunto ordenado {v₁, v₂, ..., v<0xE2><0x82><0x99>} a partir de um valor inicial x, aplicando as seguintes regras sequencialmente:
Condição 1: Se x mod 2 != 0 (x é ímpar), então o próximo termo é 2 * x.
Condição 2: Senão (x é par), se (x - 1) mod 3 != 0, então o próximo termo é 2 * x.
Condição 3: Senão (x é par e (x - 1) mod 3 == 0), se f(h) = (r ∈ {1, 2}) != 2 (onde r é o resultado aleatório de H), então o próximo termo é 2 * x.
Condição 4: Senão (x é par, (x - 1) mod 3 == 0 e f(h) == 2), então o próximo termo é (x - 1) / 3.
A função f(h) representa o resultado da função aleatória H, onde h é a entrada (implícita) para o sorteio, e r é o valor sorteado (1 ou 2). Portanto, a terceira condição se torna r!=2, que é equivalente a r=1.
A função aleatória H influencia a decisão entre aplicar 2 * x ou (x - 1) / 3 quando x é par e (x - 1) mod 3 == 0.
Função C: Seja C(vn) uma função que gera um conjunto ordenado {c1,c2,...,cn} a partir do último termo de V, vn, ou c1=vn, (v<0xE2><0x82><0x99>) como seu primeiro termo (c₁) e gera um conjunto ordenado {c₁, c₂, ..., c<0xE2><0x82><0x99>} aplicando a seguinte regra iterativamente até que o valor de x se torne 1:
Se x != 1:
Se x % 2 == 0 (x é par), então o próximo termo é x // 2 (divisão inteira por 2).
Senão (x é ímpar), então o próximo termo é 3 * x + 1.
O conjunto C é então definido como ci = v<0xE2><0x82><0x99>-i+1 para todo i ∈ {1, 2, ..., n}. Isso significa que o conjunto C contém os mesmos elementos de V, mas em ordem reversa, ou uma condição de simetria estabelecida, que é que o conjunto C, lido de forma oposta à ordem dos seus termos (ou seja, na ordem direta: c<0xE2><0x82><0x99>, c<0xE2><0x82><0x98>-1, ..., c₁), deve ser um dos conjuntos de valores possíveis gerados por V, se lido na ordem direta (v₁, v₂, ..., v<0xE2><0x82><0x99>).
Como C é construído invertendo a ordem de V, a condição de simetria se resume ao conjunto V é capaz de gerar a sua própria sequência invertida através das suas regras de transformação, influenciadas pela função aleatória H.
Função aleatória H
A f(H) é uma função aleatória que retorna um valor inteiro de forma equiprovável entre 1 e 2: P(H=1)=0.5 P(H=2)=0.5
Ela é necessaria para direcionar o fluxo no sentido contrário de Collatz. Por analogia, se uma formiga subir um tronco de uma árvore, terá que decidir para qual caminho seguir entre tantas bifurcações de galhos até alcançar uma só folha, bem no alto da copa, ou bem mais abaixo da mesma.
Já se tiver de descer, o caminho se desenha no sentido inverso, de forma mais "natural".
Condição de simetria
Seja V(x, h_seq) a função que gera a sequência V a partir de um valor inicial x.
Para confirmar se a ocorrência de simetria, basta que se analise se, dado um conjunto V gerado por um valor inicial x₀, existirá uma sequência de escolhas da função aleatória H que permita que V gere a sequência, que se invertida se iguale ao gerado pela função C, ou vice versa.
Seja V = {v₁, v₂, ..., v<0xE2><0x82><0x99>} onde v₁ = x₀. Então C = {v<0xE2><0x82><0x99>, v<0xE2><0x82><0x98>-1, ..., v₁}. Para haver simetria, a função V deve ser capaz de gerar o conjunto C a partir de v<0xE2><0x82><0x99> como valor inicial, com alguma sequência de resultados da função H.
Formalmente, precisamos verificar se existe uma sequência de resultados de H (uma sequência de 1s e 2s) tal que, iniciando com x = v<0xE2><0x82><0x99>, a aplicação das regras de V gere a sequência v<0xE2><0x82><0x98>-1, ..., v₁, v₀ (onde v₀ seria o termo seguinte a v₁ na geração de V original).
Conclusão sobre a Simetria:
A simetria entre os conjuntos gerados por V e C, lidos em ordens opostas, pode ocorrer sob as seguintes condições:
O valor inicial para C deve ser o último termo da sequência de V (que é 1).
A sequência gerada por C (iniciada em algum vn) deve ter uma extensão que, quando invertida, possa ser uma "imagem" de V.
Cabe à função aleatória H o "dever" de direcionar o fluxo de V, de forma específica em cada passo, até que ocorra uma simetria:
Se o próximo termo na sequência invertida de C é o dobro do termo atual, então H deve ser 1 ou as outras condições de V para 2x devem ser satisfeitas.
Se o próximo termo na sequência invertida de C é (x−1)/3 do termo atual (o que significa que o termo atual é 3x+1), então H deve ser 0.
Expressando isso através de uma relação de recorrência:
Seja V(x, h_seq) a função que gera a sequência V a partir de um valor inicial x e uma sequência de resultados da função aleatória H, h_seq = (h₁, h₂, ..., h_k).
A condição de simetria é satisfeita se, para qualquer V(x₀, h_seq_original) = {v₁, v₂, ..., v<0xE2><0x82><0x99>}, existir uma sequência de resultados de H, h_seq_inversa, tal que:
V(v<0xE2><0x82><0x99>, h_seq_inversa) = {v<0xE2><0x82><0x98>-1, v<0xE2><0x82><0x98>-2, ..., v₁, v₀}
Exemplificando:
Suponha que C gere uma sequência a partir de 34, f(C)= {34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1}.
Consideremos agora a função V, que em cada passo um valor aleatório atribuído ao valor de r na função H influência a função V:
f(H)={1,1,1,1,2,1,1,1,2,1,1,2,,1}, então f(V) = {1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34}, perfeitamente assimétricos.
Evidente que se f(H) tiver valor diverso outra série em V será gerada, mas ainda assim pertencente ao conjunto de possibilidades que possam ocorrer em f(C) caso outro valor reinicie o processo.
Para verificar está divergência de simetria, começamos com x = 12 e tentamos gerar a sequência 6, 3 usando as regras de V:
x = 12 (par, (12 - 1) mod 3 = 11 mod 3 = 2 != 0) -> Próximo termo é 2 * 12 = 24 (não é 6).
x = 12 (par, (12 - 1) mod 3 != 0) -> A condição para usar (x - 1) / 3 não é atendida.
Neste exemplo simples, parece que a simetria não se confirma diretamente. Isso destaca a importância da função aleatória H e das condições específicas para a aplicação das regras de V.
Repetindo:
A simetria ocorrerá se, para cada passo na geração do conjunto V, a função aleatória H direcionar o fluxo de forma a aplicar a operação inversa correspondente à sequência de C, confirmando que C, função decrescente, faz parte de V, função crescente, e que V contém todos as possíveis soluções para a função C até o infinito, dada as probabilidades P = 2^n_passos.
Se para uma determinada sequência de Collatz, for possível encontrar uma sequência de resultados de H que direcione V para gerar a sequência invertida de C, então a simetria estará confirmada para esse caso específico.
Exemplo:
Seja vn=3. A sequência de Collatz gerada por C é {3,10,5,16,8,4,2,1}. O conjunto invertido é {1,2,4,8,16,5,10,3}.
Vamos tentar gerar essa sequência com V, começando com x=1:
x1=1. Para obter v1=1, podemos considerar este o ponto de partida.
x2=1. Para obter v2=2: 1(mod2)=0 (verdadeiro), então v2=2⋅1=2. (H pode ser qualquer valor).
x3=2. Para obter v3=4: 2(mod2)=0 (falso), (2−1)(mod3)=1=0 (verdadeiro), então v3=2⋅2=4. (H pode ser qualquer valor).
x4=4. Para obter v4=8: 4(mod2)=0 (falso), (4−1)(mod3)=0 (falso), então dependemos de H. Se H=1, v4=2⋅4=8.
x5=8. Para obter v5=16: 8(mod2)=0 (falso), (8−1)(mod3)=1=0 (verdadeiro), então v5=2⋅8=16. (H pode ser qualquer valor).
x6=16. Para obter v6=5: 16(mod2)=0 (falso), (16−1)(mod3)=15(mod3)=0 (verdadeiro). Para obter 5, precisamos (16−1)/3=15/3=5. Isso requer H=2.
Vide outros exemplos em planilha eletrônica:
Conclusão
A possível solução da Conjectura de Collatz não seria responder se existe algum valor que escapa às regras estabelecidas nela, mas listar até onde se estende o universo alcançável de valores que satisfaçam a conjuntura.
Seria como olhar para a copa de uma árvore de baixo para cima, em vez de olhar no sentido contrário proposto pelo matemático alemão Lothar Collatz (1910 – 1990).
Também averiguei que todos as séries, em verdade, convergem ou se iniciam no número inteiro 16. Pois partir deste ponto é que começam as probabilidades determinantes do fluxo ascendente na construção da "árvore" numérica.
Qualquer valor escolhido dentro de qualquer uma das séries formadas pela função V atenderá à conjuntura, seja qualquer posição que o valor ocupe, pois todas as possibilidades de séries geradas pela função V, já contém os valores que, se lançados na função C, confirmarão o algoritmo de Collatz.
A bijeção entre os números naturais de entrada a serem selecionados para a Conjectura de Collatz e o número 1, único elemento do conjunto B, está implícita ante a observação e análise subjetiva do pesquisador, embora não explícita diretamente no postulado da mesma. A possível negação de que a paridade um a um entre os conjuntos A e C pode não ser relevante para a Conjectura fere o princípio de que deve existir um elemento em um conjunto que, se processado com os valores corretos da função H, levam SEMPRE à que se alcance o outro valor igual no outro conjunto oposto, passando pelo conjunto B.
É a inversão que prova, pela lógica, tanto a estrutura da Conjectura quanto a ligação existente entre os elementos dia conjuntos A e C.
A bijeção entre os números naturais de entrada a serem selecionados para a Conjectura de Collatz e o número 1, único elemento do conjunto B, está implícita ante a observação e análise subjetiva de um pesquisador, embora não explícita diretamente no postulado da mesma. A demonstração desta bijecao está na construção dos ramos que, simétricamente, se dispersam a parti de 1, confirmando a polarização entre eles. A possível negação de que a paridade um a um entre os conjuntos A e C pode não ser relevante para a Conjectura fere o princípio de que deve existir um elemento em um conjunto que, se processado com os valores corretos da função H, levam SEMPRE à que se alcance o outro valor igual no outro conjunto oposto, passando pelo conjunto B.
É a inversão que prova, pela lógica, tanto a estrutura da Conjectura quanto a ligação existente entre os elementos dia conjuntos A e C.
O determinismo supostamente existente no sentido direto da Conjectura mascara que, no sentido inverso, há uma aleatoriedade, e que a mesma está presente tanto nos fluxos direto como no inverso, observável ao se construir a árvore numérica a partir de 1, onde se tem de decidir qual "caminho" o fluxo do algoritmo deve seguir, ou mesmo na execução da série direta, pois não é possível se estabelecer o comportamento da série em extensas operações até chegar em 1. Provar a Conjectura não é somente comprovar o aspecto nato de como ela foi apresentada, nas desvelar o que subjacente está, intencional ou não, escondido sob o manto do enigma proposto.
