Teorema dos números compostos ímpares

 Apresento a proposta de um novo Teorema para estudo dos números compostos ímpares. 

Assertiva:

"Todo número composto ímpar, diferente da potência de algum número ímpar inteiro primo, está dentro de uma sequência finita, crescente, estando delimitado pelas potências quadradas dos termos primos que o compõe."

Exemplo:

Consideremos o número composto ímpar 119.
A raiz quadrada de 119 é aproximadamente 10,908..., que comprova que este número não é uma potência de algum número inteiro primo.
Os termos primos que compõe este número composto 119 são os números primos inteiros 7 e 17, pois 17 x 7=119.
Já os quadrados destes números são,  respectivamente, 289 e 49.
Ao se construir uma sequência finita (pois só se tem três valores: 119, 49 e 289) e delimitando-se o número  composto 119 pelos acima mencionados quadrados dos primos que o compõe, tem-se que:
289  > 119 >  49...
...confirmando a assertiva inicial.

Provando a assertiva acima:

1) Definições e Conceitos Preliminares

Número Composto Ímpar: Um número inteiro positivo ímpar que possui mais de dois divisores (1 e ele mesmo).

Número Primo Ímpar: Um número inteiro positivo ímpar que possui exatamente dois divisores (1 e ele me2smo).

Potência de um Número Primo: Um número resultante da multiplicação de um número primo por ele mesmo um certo número de vezes (ex: p^n, onde p é primo e n é um inteiro positivo).

Potência Quadrada: Um número resultante da multiplicação de um número por ele mesmo (ex: n^2).

Sequência Finita Crescente: Uma lista ordenada de números, com um número limitado de termos, onde cada termo é maior que o anterior.

2) Prova

Seja n um número composto ímpar que não é potência de um primo ímpar. Então, n pode ser escrito como o produto de dois ou mais fatores primos ímpares distintos:

n = p₁ p₂ ... pᵣ

onde p₁, p₂, ..., pᵣ são números primos ímpares distintos e r ≥ 2.

3) Construção da Sequência:

Termos da Sequência: Para cada par de fatores primos pᵢ e pⱼ em n, considere o produto pᵢ pⱼ.

Ordenação: Ordene todos os produtos pᵢ pⱼ em ordem crescente.

Sequência Finita: A sequência resultante é finita, pois o número de pares de fatores primos em n é limitado.

Delimitação pelas Potências Quadradas

Limite Inferior: O menor termo da sequência é o produto dos dois menores fatores primos de n. Seja p₁ o menor fator primo de n. Então, o menor termo da sequência é p₁ pⱼ, onde pⱼ é o segundo menor fator primo de n. Observe que p₁ pⱼ > p₁² se pⱼ > p₁.

Limite Superior: O maior termo da sequência é o produto dos dois maiores fatores primos de n. Seja pᵣ o maior fator primo de n. Então, o maior termo da sequência é pᵣ pₖ, onde pₖ é o segundo maior fator primo de n. Observe que pᵣ pₖ < pᵣ² se pₖ < pᵣ.

4) Conclusão

Portanto, todo número composto ímpar n, que não é potência de um primo ímpar, está dentro de uma sequência finita crescente, delimitada pelas potências quadradas dos termos primos que o compõem.

Exemplo deste ponto de vista

Seja n = 105. Os fatores primos de 105 são 3, 5 e 7.

Produtos de Pares de Primos: 3 * 5 = 15, 3 * 7 = 21, 5 * 7 = 35.

Sequência Ordenada: 15, 21, 35.

Delimitação: 3² = 9 < 15 e 7² = 49 > 35.

A sequência 15, 21, 35 está dentro dos limites 9 e 49, que são as potências quadradas dos menores e maiores fatores primos de 105.

Observação

Esta prova demonstra que a afirmação é verdadeira para números compostos ímpares que não são potências de primos ímpares. Se n for uma potência de um primo ímpar, como n = p^k, então n não se encaixa na descrição da afirmação, pois não pode ser expresso como o produto de dois fatores primos distintos.

Aplicaçoēs 

Este Teorema pode ser empregado para a decomposição de números compostos em dois fatores primos distintos, face à características da sequência finita incluir potências dos primos que geraram o número composto.

Vide também:

https://yet-clerk.blogspot.com/2025/02/teorema-da-area-retangular.html?m=1q