Um número será primo se não puder ser expresso como um somatório de números inteiros positivos iguais e maiores que 1. Isso ocorre porque um número composto (c) pode ser fatorado como (c = k * n), onde (n > 1) e (k >=2), o que corresponde a um somatório de (k) termos iguais a (n).
Um número n pode ser expresso como a soma de k parcelas iguais a m, ou seja:
n = m + m + m + ... + m = k * m
onde:
K>=2 (número de parcelas),
m>1 (valor de cada parcela).
Isso implica que n é um número composto, pois foi decomposto como um produto de dois inteiros e , ambos maiores que 1.
Logo:
Se não é possível expressar n dessa forma, então ele não é composto, ou seja, é primo.
Portanto:
Seja n>1 um número natural.
1. Suponha que seja possível expressar n como:
n = m + m + ... + m = k * m
2. Então, n pode ser escrito como um produto k*m com k,m >1.
3. Portanto, por definição, n é composto.
4. Contrapositiva:
Se não é possível escrever n como soma de k>=2 parcelas iguais a m>1 , então não existe tal fatoração n=k*m, com k>=2 e m>1.
5. Logo, n não é composto ⇒ n é primo.
6. Conclusão:
Se um número n>1 não pode ser expresso como uma soma de k>=2 parcelas iguais m>1, então n é primo.
Esta proposição utiliza na definição de multiplicação como uma forma abreviada de adição repetida para refrasear a definição de números primos e compostos. Um número composto é essencialmente um número que pode ser "dividido" em grupos iguais maiores que 1, o que é exatamente o que a soma k⋅m representa. Se um número não pode ser assim "dividido" em grupos iguais (onde cada grupo e o número de grupos são maiores que 1), então ele deve ser primo.
